توصیف کوانتومی ماده

توصیف ماده در مکانیک کوانتومی تفاوت‌های بنیادین با این توصیف در چارچوب مکانیک کلاسیک دارد.

در مکانیک کلاسیک، توصیف مبتنی بر مدل‌سازی «حرکت» است. یعنی تغییر موقعیت جسم بر حسب زمان. در اینجا مکان و زمان اصالت دارند. در این بیان، برای توصیف حرکت، باید موقعیت جسم در زمان‌های مختلف اندازه‌گیری شود. یعنی در عمل با دو اندازه‌گیری مکان و زمان مواجه هستیم. از سوی دیگر «تحول زمانی» سیستم نیز از قانون دوم نیوتون بدست می‌آید و امکان پیش‌بینی حرکت را فراهم می‌کند. این کار با معرفی مفهوم نیرو انجام می شود.

بیان ریاضی مکانیک کلاسیک شامل توصیف حرکت در قالب تابع بردار موقعیت بر حسب زمان \( \vec r=\vec r(t)\) و توصیف تحول زمانی آن بصورت یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه دو \(m\frac{d^2 \vec r}{dt^2}=\vec F \) است.

اما در فیزیک کوانتومی، ماده بر اساس «حالت» خود توصیف می‌شود. مشخص کردن حالت سیستم بر مفهوم «اندازه‌گیری» استوار است. نتایج اندازه‌گیری‌ کمیت‌های فیزیکی مجموعه‌ای از اعداد است که حالت سیستم با آن‌ها مشخص می شود. به این اعداد، «اعداد کوانتومی» می‌گویند. کمیت‌هایی گنجانده می‌شوند که مستقل از هم باشند. اگر اندازه‌گیری چند کمیت فیزیکی یک سیستم اعدادی مانند \( n_1, n_2, n_3 \) را بدست دهد، حالت سیستم بصورت \( |n_1, n_2, n_3> \) نوشته می‌شود. علامت \( | \ > \) ، نمادی است که برای نشان دادن حالت سیستم از آن استفاده می‌شود و به آن اصطلاحاً «کِت» گفته می‌شود.

اندازه‌گیری‌ها باید فیزیکی، مستقل (با داشتن یکی نتوان دیگری را بدست آورد) و کافی باشند. منظور از کفایت اندازه‌گیری‌ها این است که باید بتوانند بطور منحصر بفرد سیستم را توصیف کنند. طبیعی است که بعضی از مقادیر اندازه‌گیری شده برای دو سیستم متفاوت ممکن است با هم برابر شود (مثلاً اندازه حرکت دو سیستم یکی شود)، در اینجا سایر اندازه‌گیری‌ها آنها را از هم تفکیک خواهد کرد. بنابراین از یک «مجموعهٔ حداکثریِ غیر تکراری از نتایج اندازه‌گیری» برای توصیف حالت سیستم استفاده می‌شود.

تفاوت بارزی که در مقایسه با مکانیک کلاسیک مشاهده می‌شود از بین رفتن نقش انحصاری موقعیت است. اگر چه می‌توان حالت سیستم را بر اساس توزیع موقعیت فضایی آن هم بیان کرد امّا این تنها یک نمایش از نمایش‌های ممکن است که هیچ برتری بر نمایش‌های دیگر ندارد.

برای این نمایش فضایی، تابعی به صورت \( \psi(x,t) \) را استفاده می‌کنیم که موسوم به «تابع موج» است. خود این تابع، فاقد مفهوم فیزیکی است، اما مجذور آن \( |\psi(x,t)|^2 \) شانس یافتن ذره در هر نقطه از مکان و در هر لحظه از زمان را مشخص می‌کند. دلیل بکاربردن کلمهٔ موج برای این تابع این است که تأکید شود که با یک توزیعِ احتمالِ وجود سرو کار داریم نه یک حالت جایگزیدهٔ مشخص شبیه یک ذره. به همین ترتیب مفهوم «مسیر» که خاص ذره است نیز معنای خود را از دست می‌دهد و با تعداد بیشمار مسیر مواجه خواهیم بود. البته همانگونه که اشاره شد در مکانیک کوانتومی هیچ ضرورتی بر بکار بردن نمایش فضایی نیست و هر نمایش دیگر از جمله نمایش‌های انتزاعی نیز می‌تواند بکار گرفته شود.

در بین کمیت‌های اندازه‌گیری شده، یک کمیت جایگاه ویژه‌ای دارد و آن انرژی است، چون انرژی تحول زمانی سیستم را مشخص می‌کند. بنابراین انرژی، همواره یکی از کمیت‌های اندازه‌گیری شده است.

نکتهٔ اساسی دیگر این است که اندازه‌گیری، مستلزم برهمکنش با سیستم است. اثر این برهمکنش بر سیستم را می‌توان کاهش داد اما نمی‌توان آن را صفر کرد. بنابراین اندازه‌گیری نه تنها حالت سیستم را برای ما مشخص می‌کند بلکه حالت سیستم را در جهان خارج تعیین می‌کند یعنی آن را بوجود می‌آورد. به همین دلیل صحبت کردن از حالت سیستم قبل از اندازه‌گیری معنا ندارد.

بیان ریاضی

بیان ریاضی اصول مکانیک کوانتومی را بصورت زیر می‌توان نوشت:

• حالت سیستم توسط یک بُردار از فضای بُرداری خاصی موسم به فضای هیلبرت بیان می‌شود. طول بردارها در این فضای بُرداری محدود است. ابعاد فضا می‌تواند متناهی یا غیرمتناهی باشد. این بردار را در حالت کلی با \( |\psi>\) نشان می‌دهیم.
• اندازه‌گیری‌ها توسط عملگرهای ریاضی که روی این بُردارها اثر می‌کنند، بیان می‌شوند. این عملگرها باید هرمیتی باشند تا نتایج اندازه‌گیری حقیقی از کار درآید. اثر عملگر روی بردار حالت، معادل چرخاندن آن بردار در فضا و تبدیل آن به بردار دیگر است.
• عملگر متناظر با انرژی، «هامیلتونی» نامیده می‌شود و با \( H\) نمایش داده می‌شود. به همین ترتیب، عملگر بردار موقعیت با \(X\) (و \( Y\) و \( Z \) ) و عملگر بُردار اندازه حرکت خطی با \(P\) نشان داده می‌شود.
• تحول زمانی سیستم بر اساس عملگر \(H\) مشخص می‌شود و فرض می‌شود که بصورت زیر نوشته می‌شود: \[ H=-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2+V \] در اینجا، مراد از \( V\)، پتانسیل است. شکل پتانسیل برای سیستم‌های مختلف فرق می‌کند و همین مسأله سیستم‌ها و حالاتشان را از هم متمایز می‌کند.
• هیچ دستورالعمل خاصی برای مشخص کردن هامیلتونی یک سیستم معین وجود ندارد. باید آن را حدس زد. ساده‌لوحانه‌ترین کار این است که مشابه کلاسیک پتانسیل را که عموماً بر حسب بردار موقعیت است، برداریم و با جایگزین کردن عملگر \( X\)بجای موقعیت، عملگر هامیلتونی را بسازیم. بطرزی عجیب این روش اغلب اوقات جواب خواهد داد! اما همواره نمی‌توان این کار را کرد چون گاهی کمیت‌های اندازه‌گیری‌شده مشابه کلاسیک ندارند.
• در صورت پیدا کردن عملگر هامیلتونی، تحول زمانی سیستم از معادلهٔ شرودینگر بدست می‌آید: \[ H|\psi>=i\hbar\frac{\partial |\psi>}{\partial t}\]
• اگر حالت سیستم بگونه‌ای باشد که پس از اندازه‌گیری انرژی (یعنی اِعمال عملگر \( H\))، بردار حالت در فضای هیلبرت تغییر جهت ندهد و در همان جهت خود باقی بماند، اصطلاحاً می‌گوییم که این حالت سیستم «ویژه حالت» یا ویژه بردار هامیلتونی بوده است (این موضوع برای سایر عملگرها نیز می‌تواند رخ دهد.).
• اگر عملگری روی ویژه بردار خود اثر کند، بردار تغییر جهت نمی‌دهد اما دو اتفاق دیگر می‌تواند برای آن روی دهد: تغییر طول دهد یا در جای خود بچرخد. اگر یک ویژه بردار هامیلتونی باندازهٔ \(E\) تغییر طول دهد، در‌ واقع داریم: \[ H|\psi>=E|\psi>\]
• به مقدار \( E\)، انرژی این حالت سیستم می‌گوییم. یک هامیلتونی ممکن است چندین ویژه حالت داشته باشد که آنها را با \( |\psi_1>, \ |\psi_2>, \ |\psi_3> , \cdots\) مشخص می‌کنیم. انرژی‌های متناظر با آنها \(E_1, \ E_2, \ E_3, \cdots\) است. بنابراین می‌توان سیستم را به صورت معین با حالات \( |E_1>, \ |E_2>, \ |E_3> , \cdots\) معرفی کرد. به مقدار \(E\)، «عدد کوانتومی اصلی» نیز می‌گویند.
• اندازهٔ بردار حالت را می‌توان با ضرب داخلی آن در خودش بدست آورد که متناسب با مقدار \(E\) خواهد شد.
• تغییرات زمانی تابع حالت برای این ویژه حالات بصورت \(\exp(\frac{-iE}{\hbar} t)\) است که می‌توان آن را بصورت چرخش بردار حول خود و بصورت یک فاز در نظر گرفت. به عبارت دیگر اندازهٔ بردار که همان \(E\) است تغییر نمی‌کند. یعنی «ویژه حالات انرژی، حالات پایدار هستند و در طول زمان تغییر نمی‌کنند».

اندازه‌گیری و توصیف سیستم

در صورتی که سیستم در حالتی غیر از ویژه حالات انرژی قرار داشته باشد، با اندازه‌گیری انرژی آن، سیستم در یکی از حالات پایای انرژی تثبیت می‌شود. اندازه‌گیری‌های بعدی همین حالت و همین مقدار انرژی را خواهد داد.

اگر دو حالت مجزای سیستم، انرژی یکسانی داشته باشند، باید با یک اندازه‌گیری دیگر آن دو را تفکیک کرد.

این اندازه‌گیری می‌تواند به این شکل باشد که با آن عامل متفاوت برهمکنش کنیم. این امر باعث می‌شود هامیلتونی سیستم با افزوده شدن این عامل جدید عوض شود و در نتیجه حالات پایای انرژی سیستم عوض شوند. در‌واقع با این کار کمی سیستم را عوض کرده‌ایم. این کار سبب خواهد شد تا یک حالت انرژی به چند حالت مجزا شکسته شود. از روی میزان تغییر انرژی در‌واقع این کمیت را اندازه‌گیری کرده‌ایم.

به عنوان مثال، مشخص شده است که اکثر ذرات عالم دارای ویژگی ذاتی هستند که به آن «اسپین» گفته می شود. این کمیت، ذاتی هر ذره و هر سیستم است و قابل تغییر نیست. این کمیت هیچ معادل کلاسیکی ندارد، اگر چه استفاده از کلمهٔ اسپین ممکن است نوعی چرخش به دور خود را القاء کند اما در‌ واقع به هیچ وجه چنین نیست. از طرفی می‌توان برای اسپین جهت هم در نظر گرفت. البته این جهت هیچ ارتباطی به جهت‌گیری فضایی متعارف ندارد و در فضایی انتزاعی معرفی می‌شود. در کُل اسپین هیچ بیان فضایی ندارد.

مشخص شده است که نحوهٔ برهمکنش میدان مغناطیسی با ذرات دارای اسپین متفاوت یا دارای جهت اسپین متفاوت، فرق می‌کند. بنابراین اگر سیستمی با اسپین مشخص تحت اثر میدان مغناطیسی قرار گیرد، برهمکنش آن با میدان، مقدار انرژی سیستم را عوض خواهد کرد. معادل ریاضی آن این است که یک جملهٔ برهمکنش جدید به هامیلتونی اضافه شده است. اگر شکل این جمله را بدانیم، می‌توان با اندازه‌گیری انرژی در این حالت جدید، مقدار اسپین سیستم را بدست آورد. امّا شکل این جمله چیست؟ همانطور که گفتیم، برای نوشتن جملات هامیلتونی، راه مشخصی وجود ندارد و باید حدس زد. در مواردی که مشابه حالت کلاسیک بودند کار ساده بود. اما اسپین که حالت معادل کلاسیک ندارد. اینجا می‌توان (با جسارتی باورنکردنی) فرض کنیم که اگر ذره باردار کلاسیکی حول خود بچرخد، جملهٔ برهمکنش چه خواهد بود و همان را کوانتیده کرده (یعنی بر حسب عملگرها بنویسیم) و به هامیلتونی اضافه کنیم. به طرزی شگفت‌آور این کار جواب می‌دهد. امّا حتی لحظه‌ای فراموش نمی‌کنیم که ویژگی ذاتی اسپین از نظر فیزیکی هیچ ربطی به چرخش حول خود ندارد (یا لااقل تا الان دلیلی برای این شباهت نداریم).

نتایج اندازه‌گیری اسپین نشان می‌دهد که:

• اسپین مقادیر گسسته دارد که معمولاً بصورت ضرایب صحیح یا نیمه از ثابت پلانک \(h\) ظاهر می‌شوند.
• جهت‌گیری اسپین هم گسسته است. در هر جهتی نمی‌تواند باشد.
• مقدار اسپین با رفتار توزیع آماری مجموعهٔ همانندی از این سیستم‌ها ارتباط دارد.
• رفتار اسپین به نحو عجیبی شبیه «اندازه حرکت زاویه‌ای» است. در‌واقع می‌توان رفتار هر دو آن‌ها را با یک بیان یکسان ریاضی نشان داد. اگر چه این دو ذاتاً متفاوتند.

حال با یک اندازه‌گیری اضافه اسپین می‌توان آن حالات متفاوت با انرژی یکسان را از هم تفکیک کرد. به عنوان مثال، فرض کنید دو سیستم مشابه داریم که اندازه‌گیری انرژی، مقدار یکسان \(E_0\) را برای آنها مشخص می‌کند. این دو سیستم را تحت برهمکنش با میدان مغناطیسی قرار می‌دهیم و می‌بینیم که انرژی آن دو عوض می شود. یکی بصورت \( E_1=E_0+\Delta E\) و دیگری بصورت \( E_1=E_0-\Delta E\) . از روی مقدار \(\Delta E\) و با توجه به جمله برهمکنش با میدان مغناطیسی در هامیلتونی مقدار اسپین متناظر با آن یعنی \( s\) را پیدا می‌کنیم. در این حالت می‌توان این دو سیستم را از هم تفکیک کرد. حالات این دو سیستم عبارتند از:\(|E_0\ ,+s>\) و \(|E_0\ ,-s>\) .

برای هر سیستم باید آنقدر اندازه‌گیری کرد و عدد کوانتومی بدست آورد که سیستم‌های متفاوت بطور کامل از هم تفکیک شوند. چه موقع و چگونه می‌توان مطمئن بود که واقعاً همهٔ اعداد کوانتومی را بدست آورده‌ایم؟ در‌ واقع هیچگاه!

عدم قطعیت

بعضی از اندازه‌گیری‌ها به هم گره خورده‌اند. یعنی، انجام آن اندازه‌گیری نه تنها کمیت مورد نظر را تحت تأثیر قرار می‌دهد و آن را تثبیت می‌کند بلکه به نحوی غیر مستقیم، اندازه‌گیری کمیت دیگری را که به آن کمیت مزدوج گفته می‌شود، متأثر می‌کند.

مثالی این موضوع را روشن خواهد کرد. فرض کنیم می‌خواهیم انرژی سیستمی را اندازه بگیریم. آزمایش را در محدودهٔ زمانی \( \Delta t\) انجام می‌دهیم. مقدار انرژی بدست می‌آید. اما این مقدار دقیق نیست، چون ممکن است باندازهٔ کافی صبر نکرده باشیم تا انرژی مشخص شود. بنابراین انرژی اندازه‌گیری شده خطا یا عدم قطعیتی برابر با \(\Delta E\) خواهد داشت. برای کاهش این عدم قطعیت باید زمان را افزایش داد. در‌واقع اگر اندازه‌گیری انرژی از ازل تا ابد ادامه داشته باشد، آنگاه می‌توان مطمئن بود که خطای انرژی صفر شده است (\(\Delta E = 0\)). اما اینکار امکان‌پذیر نیست. هر اندازه‌گیری ابتدا و انتهایی دارد. البته می‌توان آنقدر \(\Delta t\) را بزرگ کرد که خطا بحد قابل قبولی کاهش یابد. حال از زاویهٔ دیگری به آزمایش نگاه کنید. فرض کنید هدف اندازه‌گیری زمان است و اینکار را با اندازه‌گیری انرژی انجام می‌دهیم. برای مشخص کردن دقیق زمان مجبوریم همهٔ انرژی‌ها را اندازه بگیریم. مشخص کردن دقیق زمان یعنی \(\Delta t=0\) و این یعنی بازهٔ انرژی‌های مورد اندازه‌گیری باید بینهایت شود \(\Delta E=\infty\) که کاری غیرعملی است.

حال فرض کنید می‌خواهیم همزمان انرژی و زمان را اندازه‌گیری کنیم، دقت یکی به عدم دقت دیگری منجر می‌شود. باید موازنه‌ای بین عدم قطعیت مقادیر زمان و انرژی یافت و به آن قناعت کرد. این ویژگی ناشی از خطای دستگاه‌های اندازه‌گیری نیست و از مفهوم اندازه‌گیری که همان برهمکنش با سیستم است ناشی می‌شود. این موضوع یکی از اصول بنیادین کوانتوم را نشان می‌دهد: «نمی‌توان به سیستمی نگاه کرد و آن را تغییر نداد».

می‌توان با احتیاط فراوان و با ظرافت اینکار را انجام داد، امّا این ظرافت حد و حدودی دارد. اگر سیستم بسیار بزرگ و اندازه‌گیری خیلی ظریف باشد، ممکن است بتوان از خطا صرفنظر کرد. امّا این امر اغلب فقط در مورد سیستم‌های بزرگ (سیستم‌های ماکروسکوپی متشکل از تعداد زیادی ذره) و آنهم در دماهای نه چندان کم امکان‌پذیر است. در این سیستم‌ها بدلیل بزرگی، تغییرات ناشی از اندازه‌گیری بسیار کوچک و قابل اغماض است. امّا اگر خود سیستم، ذره‌ای کوچک باشد، تأثیر اندازه‌گیری غیر قابل اغماض است. به همین ترتیب اگر در یک سیستم بزرگ، ذرات خیلی منظم باشند (حرکت تصادفی حرارتی نداشته باشند، یعنی دمای آن‌ها کم باشد)، اندازه‌گیری سیستم را تغییر قابل ملاحظه خواهد داد.

اصل عدم قطعیت، حد نهایی دقت را مشخص می‌کند: \[ \Delta E\times\Delta t \ge \hbar/2 \]

به همین ترتیب، دو اندازه‌گیری موقعیت و سرعت سیستم نیز با هم تزویج شده‌اند. اگر بخواهیم موقعیت یک ذره را اندازه‌ بگیریم، باید ذرهٔ دیگری را به طرف آن پرتاب کنیم، پرتابه پس از رسیدن به ذرهٔ مورد نظر با آن برهمکنش کرده و برخواهد گشت. زمان رفت و برگشت پرتابه با توجه به سرعت آن، موقعیت ذره را مشخص خواهد کرد. امّا با نزدیک شدن پرتابه، ذره در این برخورد پس زده خواهد شد. یعنی سرعتش تغییر خواهد کرد (تغییر اندازه حرکتی معادل \(\Delta p\)). برای تغییر ندادن سرعت باید پرتابه‌ای با انرژی جنبشی کمتر را فرستاد، اما این باعث می‌شود که پرتابه قبل از رسیدن به محل ذره پس زده شود و برگردد، یعنی موقعیت ذره خطایی مثل \(\Delta x\) خواهد داشت. بنابراین در وضعیت پیچیده‌ای قرار می‌گیریم: اگر بخواهیم موقعیت دقیق ذره را تعیین کنیم، باید پرتابه‌ای با انرژی زیاد را بفرستیم تا بتواند حتی‌الامکان به ذره نزدیک شود و این معادل تغییر شدید در سرعت یا اندازه حرکت ذره است ( \(\Delta x\) کم و \(\Delta p\) زیاد). از طرف دیگر برای اندازه‌گیری سرعت (یا اندازه حرکت) جسم، بایستی انرژی پرتابه کم باشد که معادل است با خطای زیاد در موقعیت و خطای ناچیز در اندازه حرکت. اندازه‌گیری دقیق و همزمان موقعیت و سرعت امکان‌پذیر نیست. باید به نوعی موازنه رضایت داد. اصل عدم قطعیت شرایط این موازنه را بصورت زیر بیان می‌کند: \[ \Delta x\times\Delta p\ge\hbar/2\]

دقت کنید که بدلیل کوچک بودن مقدار \( h\) ، عملاً این موارد در سیستم‌های بزرگ دیده نخواهند شد. مثلاً اگر برای دیدن ابعاد یک اتاق با روشن کردن چراغ، رگبار فوتون‌ها را به دیوار پرتاب کنیم و برگشت آن‌ها را با چشم بسنجیم، طبیعی است که اندازه حرکت و انرژی فوتون‌ها نمی‌تواند هیچ تغییر معناداری را در موقعیت دیوار ایجاد کند. اما در مورد ذرات چنین نیست. پرتاب یک الکترون به سوی یک الکترون دیگر برای کشف موقعیت آن است که مفهوم عدم قطعیت را نشان خواهد داد.

بی‌کفایتی مُدل‌های موج و ذره

بر این اساس، مفهوم کلاسیک «ذرّه» فرو می‌ریزد. به جای یک موجود کاملاً جایگزیده در فضا، شبح پخش‌شده‌ای خواهیم داشت که در ناحیه‌ای از فضا ، پر‌رنگ‌تر است. یعنی احتمال بودنش زیادتر است (برگردید به مفهوم تابع موج ). ذره می‌تواند هر جایی باشد، امّا بعضی جاها احتمالش بیشتر است.

مفهوم کلاسیک «مسیر» هم معنای خود را از دست می‌دهد. وقتی نتوان گفت ذره در هر لحظه کجاست، چگونه می‌توان مسیر مشخصی برای آن تعریف کرد. همهٔ مسیرها امکان‌پذیر هستند اما بعضی محتمل‌تر هستند.

دقت کنید که مفهوم کلاسیک «موج» هم فرو می‌ریزد. موج با فرکانس نوسان و انرژی‌اش مشخص می‌شود. اگر بخواهیم موجی تک‌فرکانس (با انرژی مشخص) داشته باشیم، باید امتداد زمانی آن بینهایت باشد. یعنی در تمام فضا گسترده شده باشد. چون این امکان‌پذیر نیست پس موج جایی در فضا شروع شده و جایی هم خاتمه می‌یابد. یعنی تا حدی جایگزیده شده است. اما موج جایگزیده که موج نیست، بیشتر شبیه ‌‌ذره خواهد بود.

همهٔ این‌ها نشان می‌دهد که در مکانیک کوانتومی، دو مُدل موج و ذره (لااقل در شکل متعارفشان) هیچکدام کفایت لازم برای توصیف رفتار ماده و میدان را ندارند. دقت کنید که در اینجا هیچ پارادوکسی وجود ندارد. اولاً موج و ذرّه دو مُدل متناقض نیستند بلکه حداکثر متضاد هستند. در ثانی این‌ها دو مُدل هستند و راجع به ماهیّت هیچ چیزی صحبت نمی‌کنند. بنا بر این سئوالاتی از قبیل اینکه «ماده موج است یا ذرّه؟» به کُل بی‌ربط و غلط است. مُدل‌های کلاسیک موج و ذره که دنیای ماکروسکوپی را خوب توصیف می‌کردند در مقیاس‌های کوچک مُدل‌هایی بی‌کفایت هستند، همین و بس. یا باید سراغ مُدل‌هایی از جنس دیگر رفت یا اینکه مُدل‌های ذره‌ای یا موجی ساخت که تواناتر باشند و با دنیای ریز سازگارتر.

نکات پایانی

• ذرات مشابه «همانند» هستند.یعنی نمی‌توان به نحوی آنها را علامت‌گذاری کرد که قابل تفکیک باشند. به عنوان مثال علامتدار کردن یک الکترون برای تفکیک آن از سایر الکترون‌ها امکان‌پذیر نیست. چون برای علامتدار کردنش باید چیزی به آن اضافه‌ کنیم که از الکترون بودن خارجش می‌کند. الکترون‌ها می‌توانند «حالات» متفاوت داشته باشند و به این شکل می شود آنها را از هم تفکیک کرد اما نمی‌توان آنها را از هم تمایز داد. به عنوان مثال اگر دو الکترون داشته باشیم که در دو حالت با انرژی متفاوت هستند می توان گفت «الکترون با انرژی بیشتر» و «الکترون با انرژی کمتر» اما نمی‌توان گفت کدام الکترون انرژی‌اش کمتر است و کدام یک بیشتر. به عبارت دیگر اگر دستی غیبی به ناگهان این دو الکترون را با هم عوض کند، هیچ آزمایش فیزیکی نمی‌تواند این موضوع را تشخیص دهد. این موضوع نوعی تقارن را نشان می‌دهد که در رفتار سیستم‌های کوانتومی اثرات قابل ملاحظه‌ای خواهد گذاشت.
• سیستم‌های کوانتومی، در اغلب موارد از یک یا چند ذرّه تشکیل نمی‌شوند بلکه مجموعه‌ای آماری از ذرات بیشمار هستند که در حالات کوانتومی مختلفی قرار گرفته‌اند. این مسئله، به موضوع شکل و رنگی کاملاً متفاوت خواهد داد. برای بررسی این سیستم‌های آماری به مفاهیم جدید و ابزارهای مناسب نیاز است و صرف بکارگیری اصول اولیه کوانتوم کفایت نمی‌کند. همانگونه که قوانین نیوتون که برای یک تک ذره نوشته شده‌اند را نمی‌توان بدون تعمیم‌، تعریف مفاهیم جدید و معرفی روش‌ها و ابزارهای فیزیکی و ریاضی مناسب در مورد سیستم‌های فیزیکی واقعی اعمال کرد.
• مقدار اسپین ذرات با نحوه رفتار جمعی آنها ارتباط دارد. ذرات را به دو دسته با ویژگی اسپین «نیمه» با مقادیری معادل مضارب \(\hbar/2\) و اسپین «تمام» با مقادیر معادل مضارب \(\hbar\) تقسیم می‌کنند. به گروه اول «فرمیون» و به گروه دوم «بوزون» می‌گویند. توزیع آماری این دو دسته با هم متفاوت است. چرا؟ احتمالاً کسی نمی‌داند. در نتیجهٔ این موضوع رفتار مجموعه‌های آماری این ذرات نیز تفاوت‌های بنیادین خواهد داشت. الکترون اسپین «نیمه» دارد اما اسپینِ فوتون «تمام» است. به همین دلیل رفتار گازی از الکترون‌ها با رفتار گازی از فوتون‌ها با هم فرق می‌کند. مثلاً به همان ترتیب و به همان اندازه که یک باریکه نور توسط عدسی متمرکز می شود،نمی‌توان یک باریکه الکترون را متمرکز کرد.