مقدمه

چارچوب کلّی طراحی اپتیکی، «اپتیک هندسی» است. انتشار پرتوهای نور در سیستم اپتیکی عموماً با اپتیک هندسی بیان می‌شود و تحلیل رفتار سیستم‌های اپتیکی نیز عمدتاً مبتنی بر روش‌های اپتیک هندسی است. بنابراین برای ورود به بحث طراحی اپتیکی، مروری بر نظریات و روش‌های اپتیک هندسی ضروری است. در این بخش به این مرور می‌پردازیم. قصد از این مرور، آموزش اپتیک هندسی نیست. فرض بر این است که خواننده به عنوان پیش‌نیاز، این دوره را گذرانده است و با نظریات و روش‌های آن آشنا و تا حدی مسلط است. اما به قصد یادآوری مجدد و تأکید بر فهم مشترک از مفاهیمی که ذکر می‌شود، مرور گذرایی بر مبحث اپتیک هندسی خواهیم داشت.

اپتیک هندسی

اپتیک هندسی روشی برای مطالعهٔ انتشار نور است. در این روش، انتشار پرتوهای نور (مطابق تعریفی که عنوان خواهد شد) مورد مطالعه قرار می‌گیرد. این مطالعه بدون در نظر گرفتن پدیدهٔ «تداخل نور» و تا حدی «پراش نور» است. حذف اثرات تداخلی، نقص عمده‌ای نیست، چون اثرات تداخلی تنها در شرایط خاصی نمود پیدا می‌کنند. در موارد زیادی می‌توان اثرات پراش و تداخل را به عنوان تصحیحات جانبی به تحلیل‌های مبتنی بر روش هندسی اضافه کرد، یا اگر لازم شود، قطعه یا قطعات اپتیکی را که عملکردشان کاملاً مبتنی بر تداخل است را با یک مدل هندسی جانشین کرد.

در اپتیک هندسی، همچنین، توجهی به ماهیت نور و نحوهٔ تولید نور نیز نمی‌شود. علاوه بر این، خود ماهیّت فرآیند انتشار نور نیز بررسی نمی‌شود (منظور از ماهیّت فرآیند انتشار نور، توصیف برهمکنش نور با ماده و فضا در حین انتشار است.).

بنابراین اپتیک هندسی، مطالعهٔ انتشار نور بدون در نظر گرفتن تداخل و پراش و بدون توجه به ماهیّت نور و فرآیند انتشار نور است. در واقع به پدیدهٔ انتشار نور به عنوان یک مسئلهٔ هندسی نگاه می‌شود. با توجه به قدمت هندسه، قدمت اپتیک هندسی نیز زیاد است و با توجه به تنوع فرمولبندی‌های هندسی، فرمولبندی‌های اپتیک هندسی نیز متنوع است.

تصویری که اپتیک هندسی از انتشار نور بدست می‌دهد، همچون خود هندسه، یک تصویر استاتیک است. یعنی انتشار نور در طول زمان مورد نظر نیست. اپتیک هندسی یک تصویر مستقل از زمان، از توزیع نور در فضا را بدست می‌دهد. همانطور که در هندسه مثلث را می‌توان به عنوان شکلی حاصل از تقاطع سه پاره خط در نظر گرفت و هیچ‌وقت پرسیده نمی‌شود که اوّل کدام پاره خط بوده و بعد کدامیک؟ به همین ترتیب در اپتیک هندسی هم توزیع پرتوهای نور در فضا یک دنباله زمانی نیست (به همین خاطر است که می‌توان ردیابی پرتو را از هر بخشی از سیستم و از هر جهتی شروع کرد). بنابراین بهتر است بجای لفظ «انتشار نور» از لفظ «توزیع نور» استفاده شود. البته عبارت «انتشار نور» بسیار متداول است به همین خاطر باز هم از آن استفاده خواهیم کرد، امّا منظور انتشار مکانی یا همان توزیع مکانی است نه انتشار زمانی. به همین دلیل باید متذکر شد که بحث سرعتِ انتشار نور هم در یک تحلیل صرفاً هندسی، محلی از اِعراب ندارد و به آن نیازی نیست.

در اپتیک هندسی، مشابه سایر نظریات فیزیکی، سه ساحت مختلف را در نظر می‌گیریم:

ساحت اوّل، نظریه‌پردازی یا فرمولبندی فیزیکی مسئله است. در این حوزه سعی می‌شود تا با ارائهٔ یک نظریهٔ فیزیکی مبتنی بر مجموعه‌ای از مشاهدات تجربی و / یا اصول موضوعه، ساختاری طرح شود که در چارچوب آن بتوان رفتار نور در حین انتشار در محیط‌های مادی را تبیین و پیش‌بینی کرد.

ساحت دوّم، روش تحلیل مسئله است. این روش‌ها در واقع فرمولبندی ریاضی نظریهٔ فیزیکی هستند. یا بعبارتی این فرمولبندی‌های، بیان ریاضی آن تئوری فیزیکی هستند. نمایش ریاضی منحصر بفرد نیست و بنابراین یک تئوری فیزیکی را با مدل‌های ریاضی مختلفی می‌توان نمایش داد که هرکدام ویژگی‌ها و محدودیت‌های خاص خود را دارند.

ساحت سوّم، روش محاسباتی است که همان پیاده‌سازیِ عملیِ نظریهٔ ریاضی است. انجام محاسبات، در واقع حل یک مسئلهٔ ریاضی برای رسیدن به جوابی است که در ساختار فرمولبندی ریاضی بتوان آن را به نظریهٔ فیزیکی ارجاع داد. محاسبات عموماً برای پیش‌بینی رفتار یک سیستم اپتیکی طراحی‌شده انجام می‌شوند.

فرمولبندی فیزیکی

فرمولبندی فیزیکی اپتیک هندسی، با چند رهیافت مستقل انجام شده است. دو رهیافت اصلی عبارتند از:

• قوانین انتشار نور
• اصل فِرما

روش تحلیل

همانگونه که اشاره شد، روش‌های تحلیل، الگوهای ریاضی بیان‌کنندهٔ نظریات فیزیک هستند که منحصر بفرد نبوده و هر نظریه را به روش‌های مختلف می‌توان نمایش داد. برای نمونه نظریهٔ فیزیکی «قوانین انتشار نور» را می‌توان با چند الگوی ریاضی مختلف فرمولبندی کرد. دو روش اصلی تحلیل ریاضی این نظریه عبارتند از:

• اپتیک گوسی
• اپتیک پیرامحور

روش محاسبه

روش‌های محاسباتی بسیار متنوع هستند از بین آنها می‌توان به

• روش‌ هندسه ترسیمی
• روش هندسه مثلثاتی
• روش‌ ماتریسی
• روش دیفرانسیلی

تصویر و تصویرسازی

همانگونه که قبلاً اشاره شد، سیستم‌های اپتیکی را می‌توان به دو دسته تصویر‌ساز و غیرتصویرساز تقسیم کرد. در این مرور، تکیه اصلی بر سیستم‌های تصویرساز است. بنابراین نگاهی به مفهوم تصویر و ایجاد تصویر ضروری است.

ایجاد تصویر، بازسازی یک جسم از نظر نوری است. برای این منظور جسم را به عنوان یک منبع نور در نظر می‌گیریم. این منبع ممکن است از طریق یک فرآیند فیزیکی، خود تابش داشته باشد یا اینکه بطریق غیر مستقیم در برهمکنش با انرژی نورانی، تابش ثانویه‌ای را ایجاد کند. تابش ثانویهٔ ناشی از بازتاب، متداولترین حالت است (اگر چه تنها حالت ممکن نیست). اجسام چه «تابان» باشند و چه «بازتابان»، توزیعی از نور را در فضا ایجاد می‌کنند. برای توصیف این توزیع گسترده، از مُدل «منبعِ نور نقطه‌ای» استفاده می‌کنیم.

منبعِ نور نقطه‌ای، گستردگی فضایی ندارد و تابشی همگن و همسانگرد دارد. این مُدل، یک مُدل ایده‌آل و آرمانی است و دستیابی به آن در عمل ممکن نیست (در رسیدن به آن با موانعی همچون اصل عدم قطعیت و خواص کوانتومی ماده برخورد خواهیم کرد) امّا تا حدّ زیادی می‌توان به آن نزدیک شد. با به‌کارگیری این مُدل، هر جسم را می‌توان به شکل توزیعی از منابع نور نقطه‌ای در نظر گرفت.

اگر نور ساطع شده از منبعِ نقطه‌ای را توسط یک سیستم اپتیکی در یک نقطهٔ دیگر فضا جمع کنیم، به آن نقطه، «تصویر» آن منبع می‌گوییم. البته این کار در عمل ممکن نیست، زیرا نور منبع نقطه‌ای در تمام فضا منتشر می‌شود و سیستم اپتیکی برای اینکه بتواند تمام نور را جمع‌آوری کند باید دهانهٔ ورودی بینهایت داشته باشد. بنابراین همانطور که منبع نور نقطه‌ای ایده‌آل و دست‌نیافتنی بود، «تصویرِ نقطه‌ای» هم ایده‌آل و دست‌نیافتنی است. با این وجود، در عمل اگر سیستم اپتیکی نور قابل ملاحظه‌ای از این نقطه را جمع‌آوری و در یک نقطهٔ دیگر فضا متمرکز کند، می‌توان گفت که تصویر تشکیل شده است. علاوه بر این، در هنگام تشکیل تصویر، اصل عدم قطعیت هم خود را بصورت پراش نشان خواهد داد و اقدام برای فشرده کردن نور منبع در یک نقطه بسیار کوچک، برعکس منجر به پخش‌شدن آن خواهد شد و آن را از حالت نقطه خارج می‌کند. در این حالت بجای نقطه یک «لکّه» خواهیم داشت.

بنابراین هم نقطهٔ نورانی و هم تصویر آن نقطه، ابعاد مشخص غیر صفر خواهند داشت.

در بحث بالا فرض شد که سیستم اپتیکی صرفنظر از دهانهٔ محدود، محدودیت دیگری ندارد و قادر است از یک منبع نقطه‌ای، تصویری نقطه‌ای (اگر چه با شدت کمتر و با محدودیت پراش) بسازد، یعنی اگر چه سیستم اپتیکی ایده‌آل نداریم امّا می‌توان «سیستم اپتیکی کامل» را بوجود آورد. یعنی سیستمی که در آن ابعاد لکّه (توزیع نور در ناحیهٔ تصویر) فقط بر اثر پراش تعیین می‌شود. لیکن رسیدن به چنین «سیستم اپتیکی محدود به پراش» بسیار مشکل است.

در شکل روبرو تصویر یک نقطهٔ نورانی، بصورت یک لکهٔ محدود به پراش، حاصل از یک سیستم اپتیکی کامل دیده می‌شود. سیستم‌های واقعی بمراتب با این حالت آرمانی تفاوت دارند و تصویری که ایجاد می‌کنند لکّه‌ای است بمراتب بزرگتر که حتی ممکن است تقارن هم نداشته باشد. یعنی لکّه‌ای که تشکیل می‌شود الگوی توزیع فضایی متفاوتی با نقطهٔ عموماً کروی جسم خواهد داشت. علت یا سازوکارهای ایجاد این کجنمایی‌ها در ادامه بررسی خواهد شد. در هر سیستم اپتیکی چه سیستم کامل و چه سیستم عملی، برای هر نقطه می‌توان کوچکترین لکّهٔ ممکن را پیدا کرد که به آن بهترین تصویر آن نقطه یا «کوچکترین لکّهٔ متناظر با آن نقطه» می‌گوییم. در این حالت سیستم در وضعیت «تمرکز» (فوکوس) قرار دارد.

نقطهٔ نورانی جسم در یک موقعیت خاص از فضای سه‌بُعدی قرار دارد، تصویر آن در نقطهٔ سه‌بُعدی دیگری از فضا تشکیل می‌شود. محل تشکیل تصویر و ویژگی‌های آن هم به سیستم اپتیکی بستگی دارد و هم به موقعیت و جهت‌گیری نسبی منبع نسبت به سیستم اپتیکی. با جابجایی، تغییر جهت و یا تغییر ساختار سیستم اپتیکی، محل و کیفیت تصویر تشکیل‌شده تغییر می‌کند. تغییر موقعیت یا زاویهٔ منبع نیز باعث تغییر در موقعیت و کیفیت تصویر خواهد شد.

با توجه به نکات بالا سئوالی که مطرح می‌شود این است که چه زمانی می‌گوییم سیستم اپتیکی تصویر ساخته است؟ پاسخ آن است که در عمل معیار قابل‌قبولی از اندازهٔ لکّه تعریف می‌شود. برای این اندازهٔ لکّه، میزان رواداری مشخصی نیز تعیین می‌گردد، یعنی اینکه تا چند درصد اگر اندازهٔ لکّه افزایش پیدا کند، باز هم آن را به عنوان یک نقطه قبول خواهیم کرد. تا زمانی که اندازهٔ لکّه ایجاد شده در این محدوده باشد، تصویر داریم. اگر اندازه لکّه بیش از آن شود، سیستم از شرایط تشکیل تصویر خارج شده و تصویر نداریم. در صورتی که اندازهٔ لکّه کمترین مقدار باشد سیستم در حالت تمرکز است و تیزترین تصویر را خواهیم داشت. با دور شدن از این وضعیت تصویر محو شده و تیزی خود را از دست خواهد داد، امّا هنوز تصویر است. با عبور از حد رواداری مجاز، سیستم از حالت تشکیل تصویر خارج می‌شود.

کوچکترین اندازهٔ لکّه، با «قدرت تفکیک» سیستم اپتیکی هم ارتباط پیدا می‌کند. اگر دو نقطه نورانی مجاور هم داشته باشیم، دو لکهٔ تصویر آن‌ها ممکن است در هم فرو روند و قابل تفکیک نباشند. هر چه اندازه لکهٔ حالت تمرکز سیستم کوچکتر باشد، قدرت تفکیک بالاتری داریم، یعنی بهتر می‌توان دو نقطه نزدیک را در تصویر حاصل از هم تفکیک کرد. معیارهای کمّی متفاوتی را برای تفکیک یا عدم تفکیک می‌توان تعریف کرد که بعداً به آنها خواهیم پرداخت.

در شکل روبرو، تصویر حاصل از دو نقطهٔ نورانی در سه حالت دیده می‌شود. در حالت (الف)، سیستم در وضعیتی است که اندازهٔ لکّه‌ها بزرگ است، تصویر نقاط محو است و دو نقطه بزحمت از یکدیگر تفکیک می‌شوند. می‌توان گفت که عملاً تصویری تشکیل نشده است. در حالت (ب)، سیستم، تصویر مناسبی از جسم ساخته است. دو نقطه قابل تفکیک هستند اگر چه فاصلهٔ بین آن دو تغییر کرده است، امّا تناسب شکل حفظ شده است. به نسبت این فاصله به فاصلهٔ بین دو نقطهٔ جسم، «بزرگنمایی» می‌گوییم. در حالت (ج)، ابیراهی نسبتاً زیادی در تصویر دو نقطه مشاهده می‌شود. در این حالت دیده می‌شود که اندازهٔ لکّه‌ها افزایش یافته و از حالت تقارن خارج شده‌اند. وضعیت برای دو نقطه نیز مشابه هم نیست. اندازه و میزان کشیدگی آن دو متفاوت است.

بحث بالا در رابطه با یک نقطهٔ نورانی بود. برای یک جسم گستردهٔ تابان یا بازتابان نیز شرایط مشابهی داریم. جسم را مجموعه‌ای از نقاط در نظر می‌گیریم. زمانی که سیستم اپتیکی از جسم تصویر می‌سازد، هر نقطه به یک لکّه، تصویر خواهد شد. اگر این لکّه‌ها به نقطه نزدیک بوده و اعوجاج کمی داشته باشند، چینش آنها در فضا، جسم را از نظر نوری بازسازی خواهد کرد. امّا هر چه از نقطه دورتر باشند، شانس به‌هم‌ریختگی تصویر ناشی از در هم فرو رفتن لکّه‌ها بیشتر می‌شود و بازسازی نوری جسم اعوجاج بیشتری پیدا می‌کند.

علاوه بر این، محل تشکیل تصویر هر نقطه و میزان اعوجاج هر لکّه هم با لکهٔ دیگر متفاوت خواهد بود چون در حالت کلّی، موقعیت و اندازه لکهٔ تصویر به موقعیت هندسی نقطهٔ جسم نیز وابسته است. در نتیجه نه تنها اجزای مختلف تصویر (نقاط) در هم فرو می‌روند بلکه موقعیت نسبی آن‌ها نیز جابجا می‌شود.

نکتهٔ مهم دیگر آن است که اجسام، اغلب توزیعی فضایی دارند، در حالی که عمدتاً تصویر را در یک مقطع خاص از فضا روی یک سطح (پرده، سطح آشکارساز، شبکیهٔ چشم و موارد مشابه) در نظر می‌گیریم. از آنجایی که بهترین تصویر از هر نقطه لزوماً در همان صفحهٔ فضایی سایر نقاط نیست، بنابراین تصویری واضح از تمام نقاط در آن مقطع نخواهیم داشت که باز هم کجنمایی بیشتری را در تصویر تولید خواهد کرد.

در مجموع تصویر بازسازی‌شده حداقل سه ایراد نسبت به جسم خواهد داشت:

• تغییر در شدت نور تصویر نسبت به شدت نور جسم. این تغییر هم در شدت کلّی رخ می‌دهد و هم در شدت نسبی نقاط نسبت به همدیگر (چون دهانهٔ ورودیِ مؤثر سیستم اپتیکی برای نقاط مختلف جسم فرق می‌کند، یعنی میزان نور دریافتی از هر نقطه با دیگری متفاوت است). به عبارت دیگر شدت نورِ همه جای تصویر به طور یکسان تغییر نمی‌کند. مثلاً ممکن است هر چه از مرکز تصویر دورتر می‌شویم، تصویر رنگ‌پریده‌تر شود.


• محو شدگی تصویر بدلیل فرورفتگی نقاط مختلف تصویر در یکدیگر. اصطلاحاً تصویر وضوح یا تیزی خود را از دست می‌دهد و از تمرکز (فوکوس) خارج می شود و نمی‌توان براحتی نقاط مختلف آن را از هم جدا کرد.


• بهم خوردن تناسب اجزای مختلف جسم در تصویرِ حاصل (به عنوان نمونه تصویر یک کره ممکن است بیضوی شود و تصویر یک مربع، ذوزنقهٔ کجی باشد.)

وضعیت یادشده را می‌توان در شکل زیر دید:

در ردیف اوّل چیدمانی از منابع نور تقریباً نقطه‌ای دیده می‌شود که تشکیل یک جسم نورانی را داده‌اند. یک سیستم اپتیکی در جلوی این جسم قرار گرفته است. سه حالت تصویرسازی در ردیف بعد نشان داده شده است. در حالت میانی، تصویر نسبتاً مناسب و قابل قبولی از جسم دیده می‌شود. در حالت سمت چپ، عملاً تصویر تشکیل نشده است، لکّه‌های نورانی در هم فرو رفته و تصویر واضح نیست. حالت‌ سمت راست، تصویری با ابیراهی قابل ملاحظه را نشان می‌دهد. دیده می‌شود که تصویر با وفاداری، جسم را بازسازی نکرده است. تصویر، بخصوص در نواحی دور از مرکز اعوجاج زیادی پیدا کرده است. دقت کنید که هم ویژگی تک تک نقاط نورانی و هم ساختار کل چیدمان نقاط تغییر کرده است. تصویر منابعی که در مرکز هستند، کمابیش دایره است، امّا تصویر نقاط انتهایی قطرها به بیضی‌های کشیده تبدیل شده‌اند. فاصله‌های بین نقاط هم به یک نسبت تغییر نکرده است. یعنی بزرگنمایی برای بخش‌های مختلف تصویر متفاوت است.

یکی از اهداف اصلی طراحی اپتیکی، کاستن از اینگونه ایرادات تصویرهای تشکیل‌شده و پیدا کردن بهترین تصویر ممکنه است. همانطور که گفته شد، از ایرادات تصویر می‌توان به عنوان «کجنمایی تصویر» یا «ابیراهی» یاد می‌شود. اگر ابیراهی را به مثابهٔ انحراف از کمال سیستم اپتیکی در نظر بگیریم، آن را به دو دسته می‌توان تقسیم کرد: «ابیراهی‌های ذاتی» که ناشی از طراحی سیستم اپتیکی است و «ابیراهی‌های ثانوی» که ناشی از نقص و خطا در ساخت سیستم است. برطرف کردن هر دسته از این ابیراهی‌ها، روش‌های خاص خود را می‌طلبد. در طراحی اپتیکی سعی می‌شود، با بهینه‌سازی طراحی، ابیراهی‌های ذاتی کمینه شوند و همزمان محدودیت‌های ساخت نیز در نظر گرفته شود تا ابیراهی‌های ثانویه نیز حداقل شوند.

تحلیل سیستم‌های اپتیکی

تحلیل سیستم‌های اپتیکی، عبارت است از مطالعهٔ رفتار سیستم اپتیکی در برابر توزیع‌های مختلف نور.

در مورد سیستم‌های تصویرساز، این تحلیل اطلاعات زیر را در اختیار ما می‌گذارد:

• خواص هندسی تصویر (بطور مشخص موقعیت تشکیل تصویر و میزان بزرگنمایی آن)


• کیفیت تصویر (یعنی میزان ابیراهی‌ها)


• خواص تابشی تصویر

با توجه به اینکه ویژگی‌های تصویر نه فقط به سیستم اپتیکی بلکه به ویژگی‌های نور و توزیع فضایی آن هم بستگی دارد، در انجام این تحلیل باید به هر دو مورد توجه کرد. یعنی باید سیستم را بازای تابش‌های مختلف بررسی کرد. در عمل گاهی لازم است رفتار سیستم در برابر صدها نوع تابش مختلف بررسی شود.

این تحلیل در چند سطح انجام می‌شود. در سطح اوّل که از آن به عنوان «اپتیک مرتبهٔ اوّل» یاد می‌کنیم، سیستم اپتیکی، کامل و بدون نقص در نظر گرفته می‌شود. بنابراین اپتیک مرحلهٔ اوّل، بررسی سیستم اپتیکی بدون در نظر گرفتن ابیراهی‌هاست. نتیجهٔ این تحلیل خواص هندسی و خواص تابشی تصویر است.

در سطح بعدی، تحلیل با در نظر گرفتن مهمترین عوامل ابیراهی انجام می‌شود، یعنی آن ابیراهی‌هایی که مقدار عمدتاً بزرگتری دارند را در نظر می‌گیریم. به این سطح تحلیل، «اپتیک مرتبهٔ سوّم» می‌گویند. در تحلیل مرتبهٔ سوّم، کیفیت تصویر بررسی می‌شود و خواص هندسی و خواص تابشی تصویر در این تقریب با دقت بالاتر محاسبه می‌شود.

به سطح بعدی تحلیل، «اپتیک مراتب بالاتر» (اپتیک مرتبهٔ پنجم و …) می‌گویند که ابیراهی‌های کوچک را هم بررسی می‌کند. این تحلیل بیشتر زمانی انجام می‌شود که هدف ساخت «سیستم اپتیکی محدود به پراش» است.

در تحلیل‌های اپتیک مرتبهٔ سوّم و بالاتر موارد زیر لحاظ می‌شود:

• محاسبهٔ تغییر در خواص تصویر ناشی از ابیراهی


• بررسی کیفیت تصویر با محاسبه‌ٔ ابیراهی‌ها


• درنظر گرفتن اثرات ابیراهی بر کارآیی سیستم در صورت عدم تصحیح آنها


• در نظر گرفتن پراش در موارد اجتناب‌ناپذیر


• بهینه‌سازی سیستم برای رسیدن به تصویر بهینه (کاهش ابیراهی)

در مورد بسیاری از سیستم‌ها، تحلیل مرتبهٔ سوّم کفایت خواهد کرد.

با توجه به تنوع رهیافت‌های موجود به اپتیک هندسی، در این دروس، فرمول‌بندی مبتنی بر «قوانین انتشار نور» و روش تحلیل «اپتیک گوسی» انتخاب شده که در درس بعدی عنوان خواهد شد و در ادامه روش‌های محاسباتی و بهینه‌سازی مختلف مطرح می‌شوند.